자연수 \(n\)에 대하여 두 수 \(\sqrt{2^{n-1}}\) 과 \(\sqrt[3]{3^{n+1}}\) 이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 \(n\)의 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(m\)의 값과 그때의 두 자연수의 합을 구하는 과정을 논술하시오.

함수 \(f(x) = 2^{x-1}\) 의 그래프와 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\) 의 그래프가 만나는 두 점을 \(\text{A}, \text{B}\)라 할 때, 선분 \(\text{AB}\)의 길이와 점 \(\text{C}(4, 0)\) 에 대하여 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 각각 구하는 과정을 논술하시오.

\(0 \le \theta < 2\pi\) 일 때, \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - (2\sin\theta)x + \sin^2\theta - 2\sin\theta + 1 = 0\) 이 실근을 갖도록 하는 \(\theta\)의 값의 범위를 \(\alpha \le \theta \le \beta\) 라 할 때, \(\beta - \alpha\) 의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

삼각형 \(\text{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(4\)이고 \(\angle\text{A}\)가 예각이며 \(\sin A = \dfrac{\sqrt{7}}{4},\; \overline{\text{AB}} = 6\) 일 때, 변 \(\text{BC}\)의 길이와 변 \(\text{AC}\) (단, \(\overline{\text{AC}} > 4\))의 길이를 각각 구하는 과정을 논술하시오.

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[\sum_{k=1}^{n} k a_k = n^3 + n^2\] 을 만족시킬 때, 일반항 \(a_n\)을 구하고 \(\sum_{k=1}^{10} a_k\) 의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = 2\) 이고 다음 두 조건을 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.
(가) \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -2\)
(나) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = -2\)

중심이 \((0, 2)\)이고 반지름의 길이가 \(r\; (r > 0)\)인 원 \(x^2 + (y - 2)^2 = r^2\) 과 직선 \(3x - 4y + 3 = 0\) 이 만나는 점의 개수를 \(f(r)\)라 할 때, 함수 \(f(r)\)가 불연속이 되는 \(r\)의 값 \(a\)와 \(\lim_{r \to a^+} f(r) - f(a)\) 의 값을 각각 구하는 과정을 논술하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(2 - x) + f(2 + x) = 8\) 을 만족시키고, \(x = 0\) 에서 극댓값 \(20\)을 가질 때, 함수 \(f(x)\)의 극솟값을 구하는 과정을 논술하시오.

함수 \(F(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 2t - 3)\,dt\) 의 닫힌구간 \([-2, 4]\) 에서의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)의 차 \(M - m\)을 구하는 과정을 논술하시오.

곡선 \(y = x^3 - 4x\) 위의 점 \((1, -3)\)에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정을 논술하시오.